Ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell no deben asustarnos por sus símbolos, se pueden explicar sus significados, lo importante es que unificaron la electricidad y el magnetismo en una sóla y unica fuerza: la electromagnética. Después hubo una nueva unificación con la fuerza nuclear débil en una única: fuerza electrodébil.

Estas ecuaciones son la descripción del campo electromagnético: el campo eléctrico, el campo magnético, su origen, comportamiento y relación entre ellos, incluyendo las ondas electromagnéticas como la luz. Básicamente, con estas ecuaciones es posible saber cómo va ser y cómo va a comportarse el campo electromagnético en una región determinada. El conjunto de estas ecuaciones describe cosas como la corriente eléctrica, los imanes, los rayos, la electricidad estática, la luz, las microondas, las ondas de radio…

Están expresadas matemáticamente y representan leyes físicas. No tienen demostración, sino que juntas constituyen una teoría que ha sido verificada experimentalmente. Las ecuaciones originales no eran cuatro y las que usamos hoy en día no son exactamente las mismas que propuso James Clerk Maxwell. Muchos científicos habían ido descubriendo partes del comportamiento eléctrico y magnético de las cosas. Hacía falta un genio para relacionar unas ideas con otras y mirar las cosas como un todo, y ese fue Maxwell. Antes de que Maxwell entrara en escena ya conocíamos muchas piezas del rompecabezas que él completaría; esas piezas habían sido obtenidas, a lo largo de los siglos, por otros genios que irán apareciendo: Coulomb, Faraday,Ampère, Ørsted…

Se sabía que existía algo denominado carga eléctrica, que había dos tipos y que ambos sufrían una fuerza de atracción o repulsión con cargas eléctricas. Se desconocía el hecho de que estaba cuantizada, ni la existencia de protones o electrones que, al moverse por el espacio, generaba corrientes eléctricas que era posible crear y mantener en el tiempo. Se conocían también materiales, como la magnetita, que formaban imanes naturales que, como las cargas, podían atraerse o repelerse.

En 1820 el danés Hans Christian Ørsted se dio cuenta de que una corriente eléctrica creaba a su alrededor un campo magnético. Lo que antes creíamos que eran cosas independientes –electricidad y magnetismo– no lo eran tanto. Maxwell se empapó de las observaciones experimentales de Faraday, además de otros, y consiguió establecer un marco teórico capaz de explicarlas. Einstein tenía en la pared de su despacho las fotos de tres científicos: Newton, Maxwell y Faraday.

Faraday tras varios de sus muchísimos experimentos sobre electricidad y magnetismo, había sugerido la existencia de líneas de fuerza. Maxwell publica On Physical Lines of Force, una nueva versión en cuatro partes de su artículo anterior. Aunque posteriormente elaboraría más las ideas y publicaría más artículos: utiliza el cálculo vectorial para establecer las ecuaciones que rigen los campos eléctrico y magnético.

Las implicaciones de las ecuaciones de Maxwell sirvieron a Einstein como inspiración para elaborar su famosísima Teoría de la Relatividad Especial, originando así otra revolución en la Física. Maxwell postuló originalmente veinte ecuaciones y Heaviside aprendió el suficiente cálculo vectorial para librarse de prácticamente todas esas incógnitas y reducir, en 1884, la teoría electromagnética a sólo cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

Veamos una a una lo que significan:

1.- Ley de Gauss para el campo eléctrico

Se trata de la aplicación de un teorema descubierto por Lagrange en 1762 y por Gauss en 1813. el teorema se aplica a la ley de Coulomb. Afirma que dos cargas eléctricas se atraen o repelen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

A la izquierda ∇·E, E es el símbolo para el campo eléctrico, una magnitud física que da una idea de la intensidad de la fuerza eléctrica (de atracción o repulsión) que sufriría una carga situada en un lugar determinado. El campo eléctrico es una magnitud vectorial, es decir, es una flecha: su dirección nos dice hacia dónde sería  empujada una carga eléctrica positiva si la colocásemos en ese punto –una negativa sufriría el tirón en sentido contrario–. Además de dirección, también tiene intensidad (que suele representarse mediante la longitud de la flecha), que nos indica cuán intensamente sería empujada esa carga eléctrica. Se utiliza la densidad de líneas — muchas líneas juntas indican un campo muy intenso, y líneas muy separadas uno más débil. Ese símbolo triangular ∇ se llama nabla es un operador matemático muy versátil, que puede aplicarse a números normales y corrientes o a vectores. ∇·E se lee como «divergencia de E» nos dice dónde “nacen” y “mueren” las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de líneas.

Al calcular la divergencia ∇·V,  de cualquier vector V, sólo pueden pasar una de tres cosas:

1. Si ∇·V= 0, eso significa que ninguna línea de campo «muere» en el entorno de este punto y ninguna línea de campo «nace». Dicho de otro modo, toda línea que entra en el entorno de este punto sale otra vez de él, y toda línea que sale de aquí entró antes.

2. Si ∇·V>0 –si la divergencia es positiva–, eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto nacen líneas de campo. Cuanto más grande sea el número positivo, más líneas «nacen», es decir, más intenso es el flujo saliendo.

3. Si ∇·V<0 –si la divergencia es negativa–, eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto mueren líneas de campo. Esto significa que en el entorno del punto entran más líneas de las que salen.

A la derecha de la ecuación ρ/ε0 ; ρ rho, representa la densidad de carga eléctrica: es una medida de cuánta carga eléctrica positiva o negativa se encuentra en el círculo que rodea nuestro punto (si es positiva, más carga positiva, si es negativa, más carga negativa). ε0 epsilon es la constante eléctrica o permitividad eléctrica del vacío, es una constante física, como la de la gravedad o la velocidad de la luz, es una medida de la relación numérica entre carga y fuerza eléctrica y es una constante universal.

1. Si en el punto que estamos mirando no hay cargas de ningún tipo, es decir, ρ=0, entonces la divergencia del campo será cero, ∇·E= 0. Dicho con otras palabras, si en en el entorno de nuestro punto no hay cargas, todas las líneas de campo que entran salen otra vez como si nada.

2. Si en el punto que estamos mirando hay carga positiva, es decir, ρ > 0, entonces la divergencia será positiva — estarán naciendo líneas de campo. Además, cuanto mayor sea la densidad de carga positiva, mayor será la divergencia y, por lo tanto, más líneas de campo estarán naciendo.

3. Si en el punto que estamos mirando hay carga negativa, es decir, ρ < 0, entonces la divergencia será negativa — esta- estarán muriendo líneas de campo. Además, cuanto mayor sea la densidad de carga negativa, más negativa será la divergencia y, por lo tanto, más líneas de campo estarán muriendo.

Manipular la ecuación matemáticamente para obtener las líneas del campo eléctrico, no sólo podemos conocer dónde «nacen» y «mueren», sino cuánto van divergiendo en el espacio, cuántas aparecen y desaparecen, cómo se curvan, etc. Las cargas eléctricas son los lugares donde nacen y mueren las líneas de campo eléctrico. Las líneas «nacen» en las cargas positivas, y «mueren» en las negativas. Si no hay un tipo de carga o el otro, es también posible que nunca «mueran» en ningún destino, o que nunca «nazcan» en ningún origen. La ley de Gauss para el campo eléctrico nos dice cuáles son las fuentes fundamentales del campo eléctrico: las cargas. Es difícil definir rigurosamente qué es la carga eléctrica y qué significa «positivo» y «negativo». La carga eléctrica es la propiedad asociada a la interacción electromagnética, de la que el campo eléctrico es una de las dos mitades. En la ley de Gauss vemos la relación íntima que existe entre carga y campo — las cargas eléctricas son las fuentes del campo.

El efecto del campo eléctrico sobre las cargas está definido en la ley de Lorentz. Pero esta ley de Gauss para el campo eléctrico nos permite, en cierto modo, definir qué es el campo eléctrico: es la perturbación creada por la mera existencia de cargas eléctricas.

2. Ley de Gauss para el campo magnético.

Al igual que E representa el campo eléctrico, del que hablamos en la primera ecuación, la letra B representa el campo magnético, esta ley describe el comportamiento del campo magnético a través de su divergencia, ∇ · B, indica dónde nacen y mueren las líneas de campo: si es nula, no pasa una cosa ni la otra, si es positiva nacen más líneas de las que mueren y si es negativa mueren más de las que nacen.

El significado literal de esta ley de Gauss para el campo magnético, por lo tanto, es clarísimo: las líneas del campo magnético no nacen ni mueren de manera neta en ninguna parte. Es una propiedad ineludible del campo magnético en todo lugar: las líneas de campo magnético no tienen principio ni fin. Esta ecuación no describe la causa del campo magnético, ni cómo calcularlo en ninguna parte: simplemente sabemos «cómo no es». Dado que su divergencia es nula y que, por tanto, el número de líneas que entran en cualquier región es siempre igual al número de líneas que salen, las líneas de campo magnético son siempre cerradas.

Esta ley no dice que no exista el campo magnético ni fuentes que lo produzcan, la ley de Gauss para el campo eléctrico nos decía que existe algo de donde nacen las líneas de campo eléctrico –las cargas positivas– y algo donde van a morir esas líneas de campo eléctrico –las cargas negativas–. Podríamos pensar, aunque suene un poco retorcido, que existen dos caras del campo eléctrico: la «positiva» (donde nacen líneas) y la «negativa» (donde mueren líneas), y es posible observar un punto determinado y ver que se produce un fenómeno o el otro. Pero no es posible observar sólo una de las dos caras del campo magnético: sólo es posible ver ambas cosas a la vez. Todas las líneas son bucles cerrados, unos más pequeños y otros más amplios. Si cortásemos el imán por la mitad, por ejemplo, para intentar quedarnos con el polo norte en una mano y el polo sur en la otra, veríamos que cada uno de los dos pedazos es su propio «imancito» con su polo norte y su polo sur. Al quedarnos con «la mitad» de un dipolo eléctrico tenemos un monopolo eléctrico, es decir, una carga eléctrica, pero no existen los monopolos magnéticos. Una carga eléctrica no es más que un monopolo eléctrico, pero dado que no hay monopolos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell afirman que no existe la carga magnética.

Algunos detectores del LHC tratan de hacer exactamente eso: detectar la presencia de monopolos magnéticos, si es que los hay. Si los monopolos magnéticos existieran, se debería introducir un nuevo término en esta ecuación de Maxwell porque ya no sería siempre 0 y sería una ecuación parecida a la anterior del tipo ∇ · B = µ0ρm (o con algún sumando,… más, pero eso todavía no ha sucedido, no se han encontrado monopolos magnéticos).

3. Ley de Faraday.

Las dos leyes de Gauss que hemos visto definían características del campo eléctrico y el campo magnético de manera independiente. A pesar de sus lagunas matemáticas, Faraday expresó las conclusiones de sus experimentos con tal lucidez que permitió a Maxwell –que sí era genial en matemáticas– enunciar los principios subyacentes de un modo muy eficaz. Ørsted había demostrado que una corriente eléctrica producía a su alrededor un campo magnético, pero ¿era posible lo contrario? ¿Podía un campo magnético producir fenómenos eléctricos?

En 1831, Faraday enrolló un cable conectado a una pila alrededor de un anillo de hierro. Se conocía gracias a Ørsted ya el hecho de que la corriente eléctrica del cable generaba un campo magnético, de modo que el anillo de hierro se convertía en un imán. Sin embargo, el inglés enrolló un segundo cable en el otro lado del anillo, un cable sin pila. De modo que Faraday puso un detector en el segundo cable, el que no tenía pila alguna, y encendió el primer circuito conectado a la pila. Sin embargo, no sucedió lo que podría parecer evidente: cuando la pila estaba encendida y por tanto había un campo magnético, el segundo cable no mostraba corriente alguna. La situación era exactamente igual con la pila encendida que con la pila apagada. Pero, ¡ah!, algo inesperado sí sucedía: justo en el momento de encender el primer circuito o apagarlo, aparecía una corriente eléctrica en el segundo circuito. Lo extraño no era la existencia de un campo magnético lo que inducía una corriente en el circuito sin pila: era la variación del campo magnético la que generaba corriente.

Además, y esto era también curioso, cuando se encendía el circuito, la corriente en el segundo circuito iba en un sentido, pero al apagarlo, la corriente iba en sentido contrario. En ambos casos se detectaba corriente durante un tiempo muy corto: el que duraba la transición apagado-encendido y viceversa. Eran los cambios, y no la mera existencia de campo magnético, los que causaban la aparición de corriente eléctrica. Maxwell fue capaz de extrapolarlo como una ley ajena a circuitos y corrientes, una ley matemática que servía para casos diferentes y que, como veremos en el futuro, tiene consecuencias que Faraday imaginó pero nunca pudo demostrar. ∇ × E se trata de algo matemáticamente distinto pero, la diferencia es que el primer caso ∇·E indicaba la divergencia del campo, mientras que el segundo (con la equis) se indica una operación distinta de la divergencia, el rotacional del campo. Imaginemos el flujo de agua más regular y suave posible. Supongamos que en cierta parte de la bañera toda el agua se mueve a la vez, a la misma velocidad y en la misma dirección.

Si ponemos una pelota microscópica en cualquier punto del agua, ¿se pondrá a girar la pelota? Y, si gira, ¿hacia dónde lo hará y cómo de rápido?, sin embargo la pelota no rota, se irá con la corriente ∇ × V = 0.  Supongamos que en un momento determinado hemos hecho que el agua se mueva en sentidos contrarios en las dos mitades de la bañera. Si ponemos la pelota en cualquier punto de la región izquierda, pasará lo mismo de antes, y si la ponemos en la región derecha lo mismo, pero ¿qué pasa si la ponemos justo en el borde entre ambos flujos de agua?: la pelota girará.

En esa línea de frontera entre ambas regiones, el rotacional no es cero ∇ × V≠0. De modo que aquí sí, podemos decir si gira mucho o poco y hacia dónde.  Girará tanto más deprisa cuanto mayor sea la corriente a ambos lados –no tenemos que preocuparnos por cuantificar esto–, y lo hará en un único vector que va en la dirección del eje de giro y en el sentido en el que avanzaría un tornillo que gira. La dirección del rotacional del campo eléctrico es justo la contraria (por el signo menos) de la dirección en la que cambia el campo magnético. La parte izquierda de la ecuación de Faraday-Maxwell, por tanto, no es más que el rotacional del campo eléctrico, su «turbulencia» en un punto determinado.

∂/ ∂t es la derivada parcial respecto al tiempo. Dicho en cristiano, representa el ritmo de cambio de ese algo. ∂B/ ∂t es, por lo tanto, el ritmo de cambio del campo magnético. Si ∂B/ ∂t es cero (porque gira siempre a la misma velocidad), es que el campo magnético no cambia en el tiempo. Si es pequeño, es que el cambio es gradual y suave, y si es grande indica que es un cambio muy violento; además, puesto que B es un vector con dirección, ∂B/ ∂t también lo es: tiene la dirección de cambio del campo magnético. Los conceptos mezclados a izquierda y derecha: por un lado, el campo eléctrico y por el otro, el campo magnético. La geometría del campo eléctrico depende del cambio del campo magnético en el tiempo.

Sea como sea el flujo de agua que hace girar la pelota, dado que la pelota gira (es decir, dado que el rotacional no es cero), tiene que haber agua moviéndose contra la pelota. Imagina que, en un sitio determinado, en el vacío, en ausencia de cargas eléctricas, de modo que no hay campo eléctrico de ningún tipo, llevamos un imán. Y, como quien no quiere la cosa, movemos ese imán de un lado a otro con la mano, cambia el campo magnético, surge la «turbulencia» en el campo eléctrico. La ecuación no exige en ningún momento que haya un campo eléctrico preexistente para que se cumpla: la ecuación representa un principio físico universal. El campo magnético variable en el tiempo es capaz de producir un campo eléctrico de la nada tal que su rotacional tenga sentido contrario al del cambio del campo magnético. La ecuación no es más que la expresión formal de ese hecho empírico.

Existen dos tipos de olas: las que «suben y bajan», y las que van a «izquierda y derecha». A las oscilaciones arriba y abajo las llamamos «campo eléctrico», y a las oscilaciones a izquierda y derecha, «campo magnético». Cuando el circuito original está apagado o encendido, el anillo de hierro está imantado con un campo magnético constante. Nada cambia en el campo magnético luego, tanto en un caso como en otro –apagado o encendido–, ∂B/ ∂t = 0, luego ∇ × E = 0.

Pero, cuando se enciende el circuito de la izquierda y se imanta el trozo de hierro, durante el cortísimo proceso de imantación en el que se pasa de ausencia de campo magnético a presencia de campo magnético, ∂B/ ∂t no es nulo. Por lo tanto, aparece un ∇ × E que tampoco es nulo. Sí, antes no había campo eléctrico, pero ahora sí lo hay, a consecuencia de la variación en el tiempo del campo magnético. una vez que el trozo de hierro ya se ha imantado completamente, el campo magnético ya no varía, desaparece su efecto sobre el campo eléctrico y éste deja de existir. Las cargas se paran, y permanecen paradas mientras nada más cambie. Al apagar el primer circuito, pasa lo mismo pero al revés: el campo magnético desciende hasta anularse y, mientras lo hace, aparece un rotacional del campo eléctrico justo en contra del anterior, y esto hace que los electrones del cable se muevan justo al revés que antes. Una vez el trozo de hierro ya no es un imán, ya que ∂B/ ∂t es otra vez cero, deja de haber movimiento en el cable por la ausencia de campo eléctrico.

No es difícil imaginar su utilidad: para generar una corriente eléctrica no hace falta más que un cable, sin pila ni nada parecido, y un imán; al mover el imán cerca del cable, ∂B/ ∂t produce un ∇ × E y las cargas del cable se mueven: ¡hemos producido una corriente eléctrica simplemente moviendo el imán! El problema, claro, es que en cuanto dejamos de mover el imán desaparece el efecto. La solución es moverlo todo el rato: por ejemplo, uniendo los imanes a una rueda y haciendo que la rueda gire constantemente. y hoy en día empleamos este principio para producir prácticamente toda la corriente eléctrica que utilizamos.La diferencia entre unos sistemas y otros de generación de corriente suele estar en cómo conseguimos que gire la rueda (con agua, vapor muy caliente, viento, etc.).

4. Ley de Ampère-Maxwell.

• ∇·E = ρ/ε0; Las líneas de campo eléctrico nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas.
• ∇· B = 0; Las líneas de campo magnético no tienen principio ni fin, son siempre cerradas.
• ∇ × E = -∂B/ ∂t ; Un campo magnético variable en el tiempo produce un campo eléctrico incluso en ausencia de cargas, y el campo eléctrico producido es perpendicular a la variación del campo magnético.

Ørsted realizó un experimento crucial en el estudio del electromagnetismo: al conectar un circuito con una pila y un cable, observó que alrededor del cable aparecía un campo magnético que podía hacer girar una aguja imantada –como la de una brújula–.

• El campo magnético era tanto más intenso cuanto mayor era la intensidad de la corriente eléctrica (una proporcionalidad directa a la intensidad).
• El campo magnético era tanto más intenso cuanto más cerca del cable era medido (una proporcionalidad inversa a la distancia).
• El campo magnético nunca se dirigía hacia el cable, sino que era exactamente perpendicular a él en todos los puntos, como si «rodease» el cable.

Ampère publicó una ley matemática que postulaba las corrientes eléctricas como las fuentes del campo magnético. el miembro de la izquierda, ∇ × B , no es más que el rotacional del campo magnético. La ley de Ampère es la contrapartida para el campo magnético de la ley de Faraday para el eléctrico, Esta vez el miembro de la derecha no es nulo, como sucedía en el caso de ∇ · B, µ0 recibe el nombre de permeabilidad magnética del vacío, es una constante universal.

J se trata de la densidad de corriente eléctrica, y es parecida a la densidad de carga eléctrica que apareció en la ley de Gauss para el campo eléctrico. Si J es muy grande en un punto determinado, es que hay concentrada allí una gran intensidad de corriente eléctrica, y si en un punto J = 0 eso significa que allí no hay corriente alguna.

Una corriente eléctrica no es más que un conjunto de cargas eléctricas en movimiento. Cuanta más carga se mueva cada segundo (ya sea porque hay mucha carga moviéndose, o porque la carga que hay se mueve muy deprisa), mayor intensidad de corriente existe. La intensidad se mide en amperios (A).

En la ecuación, ∇ × B = µ0 J, la dirección de la corriente no coincide con la del campo magnético, sino con el «eje de giro» del rotacional. En la ley de Faraday, no hay nada «girando»: lo que realmente sucede es que el campo esta primera parte de la ley de Ampère-Maxwell nos dice algo esencial: las fuentes primarias del campo magnético son las corrientes eléctricas, es decir, las cargas en movimiento. para que exista un campo eléctrico simplemente hacen falta cargas. Sin embargo, para que exista un campo magnético tienen que existir cargas que se muevan, es decir, corrientes eléctricas.

Maxwell se percató de que, al igual que un campo magnético variable produce un campo eléctrico «de la nada», como vimos en la ley de Faraday, también sucede lo contrario: un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Esto significa que la ley de Ampère requiere de un término más. El significado físico del término nuevo es que un campo eléctrico variable produce un rotacional del campo magnético, incluso en ausencia de corrientes.

REFERENCIAS:

http://eltamiz.com/files/Ecuaciones_Maxwell.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell