Teoría de la Relatividad General

Albert Einstein publicó la versión definitiva de su teoría de la relatividad general en el número de noviembre de 1915 del Boletín de la Academia de Ciencias de Berlín. La gravedad hasta ese momento Newton la había descrito y se sabía de su existencia, pero no se había formulado una teoría que explicara su auténtica naturaleza. Einstein contó con la ayuda del matemático Marcel Grossman (1878-1936), amigo y compañero de clase de Einstein en Zurich. La dificultad de la relatividad general está en la parte matemática, ya que contiene análisis tensorial y geometría diferencial. La teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, son los dos pilares de la física del siglo XX. La Teoría de la Relatividad General es el andamiaje del Cosmos, la estructura del espacio-tiempo, una de las cumbres del pensamiento de la humanidad, que nos hace superarnos como especie, lo más representativo de lo que puede llegar a hacer el género humano.

Un pequeño resumen: Einstein cuando postuló la Relatividad Especial (que es una teoría que no incluía la gravedad, a eso lo llamamos observadores inerciales), y se dió cuenta que chocaba con la teoría de Newton en cosas como que la gravedad era proporcional al cuadrado de la distancia entre dos objetos, y recordemos en la relatividad especial la distancia no es la misma (se expande o se acorta) según quien la mida. Se dió cuenta que necesitaba una teoría de la gravedad para cualquier observador, inercial o no inercial. Por ejemplo, si un paracaidista se pusiera una báscula en el aire pesaría exactamente cero, y si soltara cualquier objeto caería junto a él, como si estuviese en el espacio (inercialmente, como en la Relatividad Especial, por lo tanto las leyes deberían ser las mismas en el espacio como en caída libre, y la gravedad no sería una fuerza, sino otra cosa, que sería la curvatura del espacio-tiempo), esto inspiró el Principio de Equivalencia como nexo entre la relatividad general y especial. Si tenemos dos piedras en las manos y las soltamos, caerían paralelas y llegarían al mismo tiempo, pero si pudiesen seguir cayendo se juntarían en el centro de la Tierra (qué les impide seguir cayendo paralelas??, eso sólo sucede en una geometría curva, como sucede también con los meridianos -geodésicas- que se cortan en los polos). La gravedad será la caida natural en ausencia de fuerzas en un espacio curvo (imaginemos una gota de agua dentro de en un embudo cómo caería). Ese espacio-tiempo curvo es el que genera la fuerza de la gravedad. La gravedad que sentimos bajo nuestros pies, es la fuerza de frenado que hace el suelo e impide que caigamos al centro de la Tierra. Es decir «la materia le dice al espacio como curvarse, el espacio le dice a la materia como moverse», J. Wheeler.

En definitiva, la ecuación de Einstein relaciona la cantidad de materia y energía en un lugar determinado, con la curvatura del espacio-tiempo. Einstein tenía esta idea, pero desconocía las matematicas necesarias para escribir su teoría, y recurrió a su amigo Grossmann que a su vez recurrió a las matemáticas hechas 50 años antes por Riemann. Una geometría sobre un espacio-tiempo curvo (eso en matemáticas está dentro de la geometría diferencial). Entenderemos fenómenos como los de la película Interstellar donde una hora en un planeta es como 7 años en la Tierra, debido a la presencia del campo gravitatorio enorme de un agujero negro cercano (la gravedad no sólo influye en el espacio, también en el tiempo). Cualquier cosa con peso o energía gravita, y eso incluye a la luz, de hecho cuando abandona un cuerpo muy masivo pierde energía (desplazamiento al rojo) al converitrse en una onda de menor frecuencia, y al contrario. El tejido espacio tiempo es flexible y puede propagar ondas de gravedad a la velocidad de la luz. La presión también pesa (masa-energía), y puede ser positiva o negativa (como la expansión del universo en el big-bang, era gravedad de repulsión). Los agujeros de gusano también son productos de las ecuaciones. Antes de Einstein el concepto de Universo era reducido e inmovil, la cosmología tiene un gran desarrollo gracias a su teoría, ideas como el big-bang, la inflación, multiversos, la teoría de cuerdas, ….. se apoyan en sus ecuaciones. Todavía no se han llegado a completar todas sus consecuencias, ni se ha integrado con la teoría cuántica (¿encontraremos el «gravitón»?) para hacer una teoría aún más general del todo.

El Principio de la Relatividad (formulación de Galilei 1564-1642) es mucho más antiguo que la Teoría de la Relatividad, incluso más antiguo que la mecánica clásica de Newton, fue formulado por Galileo Galilei, como un argumento en la discusión del heliocentrismo versus el geocentrismo. Los defensores del geocentrismo creían en Aristóteles y Ptolomeo, argumentaban que, si la Tierra se moviera alrededor del Sol y alrededor de su eje, ¿por qué no lo notamos?, ¿por qué una bola que dejamos caer desde una torre alta termina al pie de la torre y no a cierta distancia hacia el Oeste, debido a la supuesta rotación de la Tierra de Oeste a Este?. Como respuesta a este argumento Galilei introdujo una nueva idea: la inercia; había llegado a la conclusión de que una masa en movimiento uniforme rectilíneo mantendrá eternamente este movimiento mientras que no actúe ninguna fuerza exterior sobre ella. Galilei dijo que si dejamos caer una bola desde la gavia de un barco en movimiento (uniforme), la bola tocará la cubierta en el pie del mástil y no más hacia la popa, puesto que la bola conserva la velocidad uniforme del barco durante su caída. La conclusión que sacó Galilei es que un observador no es capaz de determinar si él está en un sistema que está en reposo o en movimiento uniforme y rectilíneo. El observador puede lanzar o dejar caer masas, dejar rodar bolas sobre planos inclinados, medir el periodo de péndulos, los resultados serán los mismos en movimiento (uniforme) que en reposo. Todo el Universo (nosotros dentro) se está moviendo a velocidades increíbles (la Tierra, las estrellas, las galaxias, …. a nivel macro y también a nivel micro), todos los fenómenos los observamos en estas condiciones inerciales.

Principio de la Relatividad (formulación de equivalencia): Todos los sistemas inerciales son equivalentes, es decir, todos los observadores inerciales ven la misma física. En la vida cotidiana notamos si nos movemos, sin embargo hay numerosos ejemplos en los que se aplica este principio, mirando por la ventana de un tren en la estación, no sabemos si empieza a moverse nuestro tren o el de al lado. Dos balsas en medio del océano, que se alejan una de otra, no pueden determinar si la primera se aleja de la segunda, o viceversa. El Principio de la Relatividad, formulado alrededor del año 1600, es la base directa de la teoría de la relatividad especial (1905) y su generalización, el Principio de la Equivalencia, la de la teoría de la Relatividad General (1915). Los sistemas inerciales son un conjunto de sistemas de referencia que están en reposo o en movimiento uniforme y rectilíneo, con respecto a un sistema previamente elegido como inercial. Dentro de una clase de sistemas inerciales, no hay observadores privilegiados: dentro de la misma clase de sistemas inerciales no se puede determinar qué sistema está en “reposo absoluto” y cuál en “movimiento absoluto”. Todos los experimentos dan el mismo resultado para cualquier observador y por lo tanto todos los observadores inerciales ven la misma física.

Principio de la Relatividad (formulación de Einstein): Las leyes de la física deben tener la misma forma en todos los sistemas inerciales. A finales del siglo XIX, cuando Henri Poincaré (1854-1912) lo tomó como principio básico y sugirió que hacía falta una nueva formulación de la mecánica, basada en este principio. Sin embargo, no llegó a formular una mecánica relativista completa. Este logro está a nombre de Albert Einstein (1879-1955). El razonamiento de Einstein era que, si todos los sistemas inerciales son equivalentes y todos los observadores inerciales ven la misma física, entonces todos estos observadores inerciales deben llegar a las mismas leyes de la física, si quieren apuntar los resultados de sus experimentos.

Principio de la Relatividad (formulación covariante): Las leyes de la física transforman bien bajo las transformaciones del grupo de simetría que relacionan a los distintos observadores. El gran logro de Poincaré y Einstein fue darse cuenta de que el Principio de la Relatividad no sólo se aplica a la mecánica, sino a la física entera, incluidos el electromagnetismo y la óptica. Existen unas transformaciones, llamadas cambios de coordenadas, que relacionan la posición, velocidad, etc. de un observador con otro. Para no salir de la clase de sistemas inerciales, estos cambios de coordenadas tienen una forma específica y estas transformaciones tienen la estructura matemática de un grupo. La formulación de Einstein del Principio de la Relatividad implica por lo tanto, que las leyes de la física tienen que ser de tal forma que, al hacer un cambio de coordenadas entre dos sistemas inerciales, tienen que tener la misma forma. En otras palabras: las leyes de la física deben ser invariantes y las cantidades físicas que aparecenen estas leyes tienen que ser tales que transformen bien bajo las transformaciones de ese grupo.

La esencia de la teoría de Einstein es que la masa de un cuerpo deforma el espacio-tiempo a su alrededor. En ausencia de masa, el espacio-tiempo es plano y una partícula se mueve en línea recta porque nada influye sobre su trayectoria, pero en presencia de una masa gravitante, el espacio-tiempo se curva y una partícula se mueve a lo largo de sus curvas -geodésicas-. Un planeta gira alrededor del Sol porque sigue una trayectoria en el espacio-tiempo deformado por la masa solar. Ya en 1907, sólo dos años después de la publicación de la relatividad especial, Einstein se dio cuenta de que la teoría de la gravedad newtoniana y la relatividad especial son mutuamente incompatibles (salvo en el caso de un campo gravitatorio constante y estático). La relatividad especial eliminó los conceptos del espacio absoluto, del tiempo absoluto y de la velocidad absoluta, por no ser observables. La relatividad general ha incorporado en la física el concepto del espacio-tiempo dinámico, como una entidad física, igualmente real como el concepto de masa, carga, energía o momento angular. El espacio-tiempo ha pasado de ser un escenario estático donde ocurre la física a ser una parte más de la física, que influye en lo que contiene y puede ser influenciado por ello. Es una buena teoría física, nos enseña la forma en que de debemos formular una teoría física para poder tomarla en serio.

Quien piense que en la Teoría de la Relatividad General está todo dicho se equivoca, las ecuaciones de Einstein, junto con los ajustes de nuevos descubrimientos, no hacen sino confirmar los resultados ya predichos matemáticamente y nuevos avances en el conocimiento de todos los fenómenos que aparecen en el Universo: la curvatura de la luz en presencia de masa, las ondas gravitacionales comprobadas experimentalmente en 2015 por el experimento LIGO, la existencia de agujeros negros, la edad del Universo, los límites de la teoría de Newton, el efecto Doppler de la gravedad, el perihelio de Mercurio corriguendo el error que había en las mediciones anteriores que no coincían con la anteriores fórmulas, las lentes gravitacionales que permiten ver estrellas y galaxias duplicadas, al estar detrás de otras, y su luz las circunvalan por varios lados, el retraso temporal gravitacional (efecto Shapiro) donde un laser rebotado contra otro planeta se retrasa debido a la interacción del Sol; el efecto geodético, también llamado el efecto De Sitter, el universo como un sistema dinámico que la relatividad general predice una estrecha relación entre la estructura del espacio-tiempo y su contenido de materia y energía. La cosmología relativista es capaz de sacar modelos muy realistas gracias a dos principios básicos, donde el primero es el Principio Cosmológico, que pretende decir algo sobre la forma del universo: en cualquier momento, el universo es homogéneo e isótropo a muy grandes escalas. El segundo principio básico de la cosmología relativista es el Postulado de Weyl, que intenta modelar el contenido de materia del universo: la materia a escalas cosmológicas se comporta como un fluido perfecto, cuyas componentes se mueven a lo largo de geodésicas temporales, que no se intersectan, salvo (posiblemente) en un punto en el pasado.

La situación es semejante a la de los hombres antiguos que creían que la Tierra era plana, ya que su curvatura es imperceptible a pequeña escala. La curvatura del espacio-tiempo se manifiesta plenamente a la escala del Universo mismo, o cerca de cuerpos celestes cuya atracción gravitacional es extremadamente intensa. Gran cantidad de físico/as que han trabajado en la relatividad general con un grán número de soluciones después de la publicación de la teoría en 1915: la acción de Hilbert (1915), los agujeros negros de Schwarzschild (1916) y Reissner-Nordstrom(1916 y 1918), los espacios de De Sitter y anti-De Sitter (1916 y 1917), la clasificación cosmológica de Friedmann (1922), las ondas gravitacionales de Brinkmann (1923), la compactificaciones de Kaluza y Klein (1921 y 1926),…

En su artículo Einstein dedujo la ecuación matemática que relaciona la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa y energía: esta fórmula se conoce como ecuación de Einstein y es la base de la relatividad general. El punto de partida de Einstein era la incompatibilidad de la mecánica newtoniana, la teoría de Maxwell y el principio de la relatividad de Galilei. La motivación para la relatividad general fue puramente teórica: Einstein, como hemos visto anteriormente, se dió cuenta que la teoría de la gravedad, tal como fue propuesta por Newton, no era compatible con la estructura del espacio y el tiempo que surge de la relatividad especial. Einstein formuló que gravedad esencialmente en una teoría de campos, un concepto introducido por Faraday y Maxwell unos 50 años antes.

La interacción gravitatoria ya no es instantánea y a distancia, sino a través de un campo intermediario por el cual la fuerza gravitatoria se propaga con velocidad finita. Lo revolucionario de la relatividad general es la identificación de este campo intermediario con una métrica, un objeto matemático que describe las propiedades geométricas del espacio. La relatividad general induce por lo tanto una profunda relación entre la gravedad y la curvatura del espacio-tiempo.

Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:

• El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas.
• El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales.
• La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitorio sigue una trayectoria geodésica.

El ingeniero y científico flamenco Simon Stevin, en 1586, en su libro Weeghconst: “Deja caer dos bolas de plomo, una diez veces más grande y más pesada que la otra, […] juntas, desde una altura de 30 pies, encima de una tabla de madera […] y resultará que la más ligera no tardará diez veces más que la pesada en recorrer el camino, sino que caerán tan juntos encima de la tabla que los sonidos de ambas parezcan un solo golpe. ”La universalidad de la caída libre, el hecho de que la velocidad de objetos en caída libre sea independiente de su masa, es la manifestación de una coincidencia remarcable en la mecánica newtoniana: la igualdad entre la masa inercial m_i (F=m_i a, la de la segunda ley de Newton) y la masa gravitatoria m_g (medida de cómo interacciona un cuerpo gravitacionalmente con los demás cuerpos en el universo, V=G_Nm_gM_g/r).

A Einstein le impresionó mucho la igualdad de la masa inercial y la masa gravitatoria. Aunque la mecánica newtoniana no daba ninguna razón a priori por la que estas dos cantidades físicas tuvieran el mismo valor. Se dio cuenta de que un observador en caída libre no siente su propio peso, y por lo tanto podría pensar que estuviera en una región del espacio donde no hubiera campo gravitatorio. Efectivamente, una bola, soltada por el observador durante la caída libre, caerá debido a la universalidad de la caída libre a la misma velocidad que el propio observador, de modo que este último verá la bola flotando como si estuviera en el espacio interestelar.

Principio de Equivalencia (para campos gravitatorios constantes): Un observador en caída libre en un campo gravitatorio constante es equivalente a un observador inercial en ausencia de gravedad. Es imposible determinar la diferencia entre estas dos situaciones a base de experimentos físicos.

Principio de Equivalencia (para aceleraciones constantes): Un observador en movimiento uniformamente acelerado es equivalente a un observador inercial en un campo gravitatorio constante. Es imposible determinar la diferencia entre estas dos situaciones a base de experimentos físicos.

La gravedad se acopla de manera universal a toda la materia, independientemente de la masa o la composición. No hay manera de que una partícula no note la gravedad, en contraste con el electromagnetismo, donde una partícula neutra no interacciona con los campos electromagnéticos. No sólo partículas masivas están afectadas por la gravedad, sino también la luz. Una primera predicción por lo tanto de la relatividad general, o mejor dicho del Principio de Equivalencia, es que hay una desviación de la luz de su trayectoria recta en presencia de gravedad (fue comprobado experimementalmente en el famoso eclipse solar de 1919). También predecía y se confirmó que existe un efecto Doppler gravitacional. La luz que escapa de un campo gravitatorio sufre un corrimiento hacia el rojo, mientras la luz que entra en un pozo potencial gravitacional un corrimiento hacia el azul. Tiene una consecuencia directa: la dilatación gravitacional del tiempo, debido al efecto Doppler gravitacional un reloj abajo en un campo gravitatorio va mas lento que uno mas arriba.

En un campo gravitatorio inhomogéneo el Principio de Equivalencia no es válido en general, los efectos causados por las inhomogeneidades de un campo gravitatorio general se llaman fuerzas de marea, y son justo estos efectos los que hacen que un observador sea capaz de distinguir entre un sistema inercial y un sistema en caída libre. No existe un sistema de referencia donde ambos observadores están simultáneamente en reposo, por la sencilla razón de que las inhomogeneidades del campo gravitatorio causan aceleraciones relativas entre los dos. Sin embargo, estas fuerzas de marea son pequeñas a escalas pequeñas, ya que son proporcionales al gradiente del campo gravitatorio. Por lo tanto, a escalas tan pequeñas que el campo gravitatorio parece localmente constante, las fuerzas de marea desaparecen y el Principio de Equivalencia vuelve a recuperar su validez, aunque sea localmente. Básicamente el Principio de Equivalencia es válido mientras que los efectos de marea sean indetectables.

Principio de Equivalencia (formulación general): Observadores en caída libre en un campo gravitatorio general son localmente equivalentes a observadores inerciales. No hay experimentos locales que puedan distinguir entre estas dos situaciones.

El hecho de que localmente un observador no pueda distinguir entre estar en caída libre en un campo gravitatorio o ser un observador inercial interestelar implica que existe un cambio de coordenadas que elimina el campo gravitatorio en una pequeña región y hace que el espacio-tiempo parezca localmente Minkowski (un espacio que en cada punto es localmente plano). Por tanto, debido a las inhomogeneidades del campo gravitatorio, ese cambio de coordenadas será distinto en cado punto del espacio-tiempo y en general no será posible encontrar una transformación tal que el espacio entero se reduzca al espacio de Minkowski. Dicho reumidamente, la interacción gravitatoria no es más que una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. La gravedad es geometría. Dicho fínamente, el espacio-tiempo de la relatividad general es una variedad lorentziana cuadrimensional con curvatura determinada por la conexión de Levi-Civita, donde las partículas libres (sobre las que únicamente actúa la gravedad) viajan a lo largo de las geodésicas de la variedad curva. El hecho de que el espacio-tiempo tenga una curvatura no-trivial hace que las partículas libres sufren un efecto de desviación geodésica: partículas que inicialmente siguen trayectorias paralelas notarán aceleraciones relativas entre ellas.

Alrededor de cualquier punto de una variedad se puede considerar una pequeña región en la cual el espacio tangente era una buena aproximación para la variedad. En esta pequeña región existen unas coordenadas, las llamadas coordenadas localmente inerciales, tales que en una región pequeña alrededor de este punto los símbolos de Christoffel son cero y la métrica se reduce a la plana en primera aproximación. Esta propiedad de las variedades es el fundamento matemático del Principio de Equivalencia: el observador que se cree localmente inercial es el observador que usa las coordenadas localmente inerciales y ha eliminado el campo gravitatorio, por lo menos en una pequeña región alrededor de sí mismo.

 

Principio de Covariancia: Las leyes de la física deben tener la misma forma en todos los sistemas de referencia. Las leyes de la física deben por lo tanto transformar de manera covariante bajo cambios generales de coordenadas.

El cambio de coordenadas entre unas coordenadas arbitrarias x^μ y las coordenadas localmente inerciales y^α sea un cambio general de coordenadas, implica que las leyes de la física tienen que transformar bien bajo un grupo más grande que el grupo de Lorentz. En las coordenadas localmente inerciales, un observador puede considerearse un observador inercial y por tanto para él las leyes de la física tendrán la forma de las leyes de la relatividad especial, por lo menos localmente. Y el mismo observador podría estudiar los fenómenos físicos en cualquier otro sistema de coordenadas y debería llegar a las mismas leyes de la física, aunque escritas en coordenadas distintas.

En la práctica implica que una ley es válida en general si lo es en relatividad especial y si la escribimos de manera covariante, es decir, en función de objectos que transformen bien bajo cambios generales de coordenadas. En particular, sustituyendo derivadas parciales por derivadas covariantes y la métrica de Minkowski η_μν por una métrica general g_μν. El Principio de Equivalencia y la geometría diferencial son dos caras de la misma moneda, que expresan, cada uno de su manera, física o matemática, el carácter del espacio-tiempo como variedad lorentziana con curvatura.

El término riguroso del concepto “gravedad”, puede ser subjetivo u objetivo, y hay cierta confusión al usar el concepto “fuerza gravitatoria” para referirnos a dos cosas que son muy distintas: la curvatura del espacio-tiempo y la sensación de tener peso, que representan ciertos aspectos de lo que llamamos “gravedad”, pero cuya distinción es fundamental para entender bien las implicaciones del Principio de Equivalencia. La gravedad como sensación de peso es lo que intuitivamente entendemos como la fuerza gravitatoria (a la Newton), la idea cotidiana de gravedad, incluso fisiológica.  En contraste el matemático depende de la manera en que se mueva un observador, dos observadores moviéndose de manera distinta en el mismo punto del espacio pueden llegar a tener sensaciones de peso completamente distintas. Gravedad como manifestación de la curvatura del espacio es un concepto mucho más objetivo (es un concepto absoluto), ya que describe las propiedades matemáticas del espacio-tiempo considerado. La sensación de peso está codificada en los símbolos de Christoffel, mientras que la curvatura lo está en el tensor de Riemann.

La fuente de esta curvartura es la materia de la cual tenemos una descripción tensorial, el tensor de energía-momento. La materia interacciona con el espacio-tiempo. Esta interacción viene dada por las ecuaciones de Einstein. El Principio de Covariancia nos dice que la ecuación debe ser válida en todos los sistemas de referencia, y que por lo tanto debe tener una forma tensorial. Concretamente, la ecuación de Einstein tiene que ser de la forma: G_μν=−κT_μν  ; donde G_μν es un tensor que describe la curvatura del espacio, T_μν el tensor de energía-momento y κ una constante de proporcionalidad. La pregunta se reduce a saber cual es el tensor Gμν, sabiendo que debe cumplir seis condiciones:

1.- G_μν tiene que ser simétrico en los dos índices, ya que T_μν también lo es.
2.- G_μν tiene que ser un objeto geométrico. Por lo tanto, tiene que ser una función solamente de la métrica g_μν y sus derivadas.
3.- Para el espacio plano, tenemos que G_μν = 0.
4.- La ley de conservación de energía ∇_μ T^μν= 0 implica que también ∇_μ G^μν= 0.
5.- Se puede identificar la componente g₀₀ de la métrica con el potencial gravitacional newtoniano. Para tener una teoría dinámica y para recuperar la ecuación de Poisson, G_μν debe contener segundas derivadas de la métrica. La manera más natural, por lo tanto es a través de las contracciones del tensor de Riemann R_μνρ^λ.
6.- Para obtener una ecuación diferencial de segundo orden (y no más) en los potenciales gravitatorios, G_μν tiene que ser lineal en el tensor de Riemann. Contracciones del tipo R_μρR_ν^ρ 

Las condiciones 1 – 6 determinan el tensor G_μν unívocamente: se puede demostrar que la expresión más general para un tensor simétrico de rango (0, 2), construido de la métrica y sus derivadas y lineal en R_μνρλ es, salvo una constante común, de la forma:

G_μν = R_μν+ α g_μνR + g_μνΛ(x), α cte y Λ(x) función escalar de dimensiones ML^-3

Exigir que ∇_μG^μν = 0 implica que α = −1/2 y que Λ es una constante, mientras que exigir que G_μν=0 para el espacio plano implica que Λ=0. Por lo tanto el único tensor que satisface todas las condiciones necesarios es el tensor de Einstein, G_μν=R_μν−1/2g_μνR. Una comparación con las fórmulas newtonianas fija la constante de proporcionalidad κ=8πG_N, donde G_N es la constante de Newton, de modo que las ecuaciones de Einstein vienen dadas por:

R_μν − 1/2 g_μν R = −8π G_NT_μν

En relatividad general el espacio-tiempo no es un escenario estático dentro del cual ocurre la física, sino que es una parte activa del juego. Las ecuaciones de Einstein forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales no-lineales acopladas de segundo orden, lo que hace que sean muy difíciles de resolver analíticamente. No hay técnicas conocidas para obtener una solución general. Todas las soluciones conocidas son casos con mucha simetría u obtenidas a través de técnicas específicas. Aquí la geometría no está determinada a priori, sino por el contenido de energía y materia y por las condiciones iniciales. Donde la relatividad especial eliminó el fantasma del espacio y el tiempo absoluto, la relatividad general acabó con la idea del espacio-tiempo estático y la geometría dada a priori.

En el espacio de Minkowski, un espacio de sucesos, donde cada suceso está caracterizado por su posición x, y, z y el momento t en que ocurre. En este espacio de sucesos, la ecuación s²= 0 es la trayectoria de una señal de luz esférica emitida desde el origen en el instante t = 0: en cada momento la señal consiste en una esfera de radio ct. Si dibujamos las coordenadas x(t), y(t), z(t) como función del tiempo, vemos que la trayectoria corresponde a un cono invertido con el vértice en el origen ct=x=y=z=0. De igual modo la trayectoria de toda la luz que llega en el momento t = 0 al punto x = y = z = 0, es otro cono con el vértice en el origen. A estos dos conos se les llama el cono de luz futuro, y el cono de luz pasado respectivamente. En general, debido a que c es la velocidad máxima permitida, cualquier partícula que pase por el origen (presente) siempre se quedará dentro del cono de luz I-II (s² > 0). El interior de los conos de luz (las zonas I y II) representan posibles trayectorias de observadores inerciales que se mueven con velocidad constante pasando por el origen (linea discontinua). El exterior de los conos (la zona III) no está en conexión causal con el origen.

 

Matemáticamente el espacio de Minkowski tiene la esctructura de un espacio vectorial, de modo que podemos pensar en las coordenadas (ct, x, y, z) de un suceso como un vector cuadrimensional en este espacio vectorial y en la cantidad s² =c²t²−x²−y²−z² como el cuadrado de la norma del vector, donde la definición del producto escalar entre dos vectores a y b en el espacio de Minkowski es: a·b=a_tb_t−a_xb_x−a_yb_y−a_zb_z. Esta definición proporciona un producto escalar y una norma que no es definida positiva (geometría lorentziana). Cualquier punto de la trayectoria de toda curva tiene que estar contenida dentro del cono de luz (pasado y futuro) en este punto.

Dos observadores O y O′ están continuamente en contacto causal. Un evento p en la historia de O influenciará a O′ a partir del momento q en que O′ entre en el cono de luz de p. Equivalentemente, los eventos en la historia de O′ influenciarán a O desde el momento en que éste entra en su cono de luz. Un evento p en la historia de un observador O puede llegar a influenciar tarde o temprano los hechos en cualquier posición (x, y, z) del espacio, ya que el cono de luz crece con el paso del tiempo, siempre  que O′ no tenga aceleraciones demasiado grandes con respecto a O. A esto se llama que estos observadores estan en contacto causal.

Principio del Mínimo Acoplo: En un espacio curvo, los campos no-gravitacionales se acoplan sólamente a la métrica, no al tensor de Riemann o sus contracciones (formulación física). Las leyes de la física en espacios curvos son los mismos que las de la relatividad especial, donde se sustituyen las derivadas parciales ∂_μ por covariantes ∇_μ y la métrica de Minkowski η_μν por una métrica general g_μν (formulación práctica). Estrictamente hablando no es un principio físico, sino más bien un principio filosófico, una variante de la Navaja de Ockham. Análoga al espacio de Minkowski, en cualquier punto p se puede definir el cono de luz en un punto p como el conjunto de vectores nulos V²(p)=0 y este cono de luz determina la estructura causal del espacio-tiempo. Pero la gran diferencia con el espacio de Minkowski es que, debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación del cono de luz no es la misma en todo el espacio-tiempo, sino que varía de punto en punto. La interpretación física de este fenómeno es que la gravedad afecta la trayectoria de la luz, mientras matemáticamente hablando, es debido al hecho de que las coordenadas localmente inerciales son distintas en cada punto de la variedad. Una partícula masiva seguirá una trayectoria temporal, que se define como una curva cuyos vectores tangentes son temporales en todos los puntos de la curva. De la misma manera una partícula sin masa seguirá una curva nula. Dos eventos p y q están en contacto causal si están conectados a través de una curva temporal o nula. Por otro lado, si entre p y q no existe una curva temporal o nula, no es posible intercambiar información entre los dos eventos, es decir, los eventos están fuera de contacto causal.

Igual que en el espacio de Minkowski, podemos, en cualquier punto p, dividir los vectores V^μ de T_p(M) en tres clases, los vectores temporales, nulos y espaciales, dependiendo de si la norma V²=g_μνV^μνV^ν es positiva, cero o negativa. En cualquier punto p se puede definir el cono de luz como el conjunto de vectores nulos V²(p)=0, y este cono de luz determina la estructura causal del espacio-tiempo en cada punto. Pero la gran diferencia con el espacio de Minkowski es que, debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación del cono de luz no es la misma en todo el espacio-tiempo, sino que varía de punto en punto. Físicamente, en este fenómeno, la gravedad afecta la trayectoria de la luz, y matemáticamente se debe a que las coordenadas localmente inerciales son distintas en cada punto de la variedad.

Debido al hecho de que la orientación de los conos de luz varía de punto a punto, es posible que unas partículas, que inicialmente estaban en contacto causal, dejen de estarlo después de un cierto tiempo. Si un observador O entra en una región del espacio desde la cual ya no es capaz de mandar señales de luz a un observador O′ fuera de esta región, decimos que el espacio-tiempo tiene un horizonte. Existen varios tipos de horizontes; los más comunes, serían:

Las partículas 1, 2 y 3 están inicialmente en contacto causal, pero a medida que pasa el tiempo ya no es posible mandar señales de luz entre los observadores. La partícula 1, al pasar un horizonte de sucesos a, entra en una región donde la luz se queda atrapada, debido a un fuerte campo gravitatorio (por ejemplo, aparece en la formación de agujeros negros). Por otro lado, las partículas 2 y 3 pierden contacto debido a la rápida aceleración del universo: señales emitidas tarde en la historia no llegan nunca de un observador al otro y cada observador tiene un horizonte cósmico b detrás del cual no puede ver. Las partículas 1, 2 y 3 no reciben influencias de 4, hasta que 4 aparece dentro del horizonte de partículas c, debido a la edad finita del universo, ningún observador puede ver más allá de la distancia que ha recordido la luz desde el origen del universo hasta el momento de observación. Desde distancias más allá, la luz simplemente no ha tenido tiempo todavía para llegar hasta el observador, aunque sí llegará con el paso del tiempo. El horizonte asociado con este fenómeno se llama un horizonte de partículas.

Los físicos británicos Stephen Hawking y Robert Penrose demostraron en los años 60 que en el interior de una superficie que atrapa la luz, necesariamente tiene que haber una singularidad física, de modo que la singularidad en el centro de agujeros negros es física. Un espacio es geodésicamente completo si se puede extender el parametro afín de cualquier geodésica a infinito. Si un espacio no es geodésicamente completo, significa que algunas geodésicas terminan en un punto específico, posiblemente porque acaban en una singularidad, o porque el espacio-tiempo tiene un borde con que se choca la geodésica. Una superficie Σ que sea espacial en todos los puntos y especifica en esta superficie las posiciones y velocidades iniciales de las partículas y flujos, no está garantizado que para cualquier espacio-tiempo esta superficie Σ sea una superficie de Cauchy (que su evolución futura esté determinada por esas condiciones iniciales).

Estructuras no-locales en las soluciones de las ecuaciones de Einstein: un espacio es geodésicamente completo si cualquier geodésica se extiende hasta el infinito, sino acaba en un borde o una singularidad (a). No en todos los espacios es posible definir superficies de Cauchy, ya que una influencia puede venir del infinito sin haber cruzado Σ la superficie espacial (b). Un espacio es orientable con respecto al tiempo, si hay una definición global de la dirección en que fluye el tiempo (c). Curvas temporales cerradas, son curvas que son temporales en todos sus puntos, pero que vuelven al mismo punto y permiten viajar al pasado (d). Las ecuaciones de Einstein determinan sólo la geometría local, pero no dicen nada sobre la topología de la solución (e).

Las ecuaciones de Einstein son muy difíciles de resolver, debido a su caracter no lineal, de modo que la superposición de dos soluciones no es una nueva solución. No es difícil entender la razón física para esta no linealidad: sabemos que el espacio se curva debido a su contenido de masa y energía. Pero la propia curvatura del espacio-tiempo contiene energía, de modo que la misma curvatura es una fuente de curvatura. En otras palabras, la gravedad no sólo se acopla a la energía y la materia, sino también a sí misma, lo que resulta en ecuaciones no lineales. Einstein mismo creyó inicialmente que sus ecuaciones eran tan complicadas que nunca se encontraría una solución exacta. Sin embargo, pocos meses después de la publicación de la relatividad general, en 1916, Karl Schwarzschild (1873 – 1916) halló la solución exacta de un objeto estático con simetría esférica, una buena descripción para el campo gravitatorio causado por objetos masivos esféricos, como estrellas y planetas, y en los últimos 100 años decenas, si no cientos de soluciones exactas han sido encontradas.

Quizás algunx de nuestrxs lectorxs llegue algún día a terminar o mejorar esta teoría, teniendo la misma intuición que tuvo Einstein, y buscando las herramientas para demostrar sus hipótesis. Llegará………

 

REFERENCIAS

Bert Janssen, Teoría de la Relatividad General, Univ. de Granada, 2013

Hoy si vas a entender la Teoría de la Relatividad. https://www.youtube.com/results?search_query=teoria+de+la+relatividad+general

Ray d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University Press, 1992.

SeanM. Carroll, Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004.

Derek F. Lawden,An Introduction to Tensor Calculus and Relativity, Wiley, 1962.

J.B. Hartle, Gravity: An introduction to Einstein’s General Relativity, Addison-Wesly, 2002.

J. Foster and J.D. Nightingale, A Short course in General Relativity, Springer-Verlag, 1995.

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http://www.phys.uu.nl/ thooft/lectures/genrel.ps

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http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan Waner/RealWorld/pdfs/DiffGeom.pdf

https://www.elconfidencial.com/tecnologia/2015-11-17/seis-claves-para-intentar-comprender-la-teoria-de-la-relatividad-de-einstein_1098765/

https://www.agenciasinc.es/Entrevistas/Diez-preguntas-para-entender-la-teoria-de-la-relatividad-general-de-Einstein

http://www.youtube.com/watch?v=OQA0X381OSY

https://es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_tensorial