Las matemáticas -mal aplicadas- de la crisis. Ecuación de Black-Scholes.

La ecuación de Black-Scholes cambió el mundo dando cobertura a una especulación en auge de miles de billones de dólares. Su generalización, usada de modo poco inteligente por un pequeño círculo de banqueros, cambió el mundo de nuevo contribuyendo a una quiebra financiera de miles de billones de dólares y efectos cada vez más malignos, que se extienden a economías nacionales enteras, y que están todavía sintiéndose por todo el mundo. La ecuación pertenece al reino de las matemáticas continuas clásicas, que tiene sus raíces en las ecuaciones en derivadas parciales de la física matemática. Este es un reino en el que las cantidades son infinitamente divisibles, el tiempo fluye de modo continuo y las variables cambian suavemente. La técnica funciona para la física matemática, pero parece menos apropiada para el mundo de las finanzas, donde el dinero viene en paquetes discretos, las operaciones se dan de una en una (aunque muy rápido), y muchas variables pueden cambiar erráticamente.

La ecuación de Black-Scholes está también basada en las suposiciones tradicionales de la economía matemática clásica: información perfecta, racionalidad perfecta, equilibrio de mercado, la ley de la oferta y la demanda. La asignatura se ha enseñado durante décadas como si estas cosas fuesen axiomáticas, y muchos economistas cualificados nunca las han cuestionado. Aunque carecen de apoyo empírico convincente. Los modelos usados para valorar los productos financieros y estimar sus riesgos incorporaban suposiciones simplificadas que no representaban exactamente los mercados reales, ni los peligros inherentes a ellos. Los jugadores del mercado financiero ignoraron estos hechos a pesar de los repetidos avisos.

Y no, la ecuación no fué la culpable de la crisis financiera. Una ecuación es una herramienta, y tiene que ser usada por quién sepa usarla, y con los fines correctos. La ecuación de Black-Scholes quizá haya contribuido a la crisis, pero solo porque se abusó de ella. El sector financiero necesita mejores modelos y, una comprensión sólida de sus limitaciones; es demasiado complejo para que ser dirigido por corazonadas humanas y razonamientos vagos. Necesita más matemáticas, no menos, y aprender cómo usarlas de manera inteligente, más que algún tipo de talismán mágico.

Esta ecuación nos dice el precio al que debe venderse un derivado financiero a lo largo del tiempo, y así poder hacerlo antes de su vencimiento a un valor “racional”. De esta manera los derivados financieros se convierten en sí mismos en una mercancia virtual, que se puede comprar y vender; desconectados del valor real que representaban originalmente. Estos derivados financieros debido a esta práctica, han crecido masivamente en los mercados financieros, provocando la crisis económica, el mayor desastre financiero de la historia y la depresión económica actual.  En 2007 el sistema financiero internacional negociaba derivados por valor de un cuatrillón de dólares al año. Esto es diez veces el valor total, ajustado a la inflación, de todos los productos fabricados por las industrias manufactureras del mundo durante el último siglo. Lo más grave es que a día de hoy no tenemos constancia de que se haya cambiado nada de esas prácticas, que se siguen haciendo con toda impunidad, ¿hasta la próxima?.

Los derivados financieros no representan directamente elementos de la economía real, no son dinero, ni acciones; son inversiones en inversiones, promesas sobre promesas. Su fin es principalmente especulativo, estos derivados se suelen vender antes de su vencimiento. Algo así como comprar y vender una apuesta en una carrera de caballos mientras los equinos todavía están corriendo. Se usa dinero virtual de inversores que tienen una promesa que nunca llegará a materializarse y que realmente tampoco tienen ese dinero llegado el caso. Estas prácticas desconectadas de la realidad, suelen pasar desapercibidas hasta que llegan los problemas, cuando tanto dinero inexistente y recursos sobrevalorados tienen que pagarse con dinero real, y mucha gente acaba sufriendo. Estas finanzas del reino de la fantasía se han convertido en una práctica rutinaria del sistema bancario y operadores extremadamente ricos.

El resultado de la crisis económica se estima en la pérdida de 17 billones de dólares, el colapso total del sistema financiero mundial, el destrozo de los ahorros de millones de inversionistas, la Gran Depresión de 1929 es cuantitativamente una broma comparada con ésta, los gobiernos se vieron “forzados” a cubrir a los bancos en bancarrota, y a pesar de que ellos hicieron campaña contra las regulaciones (con todo su poder e influencia, que es mucha), y nos vienen a decir después que la culpa es de los reguladores «es culpa vuestra, vosotros nos dejasteis hacerlo» (cuenta hasta diez).

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Los derivados más sencillos, son conocidos como futuros y opciones, y se remontan al mercado de arroz (alimento básico) en Japón en 1697, cuando se pagaba a las clases altas con arroz, no con dinero, y apareció una clase de agentes que comerciaban con arroz como si fuese dinero. Aquello no acabó muy bien, mientras la gente ordinaria pasaba hambre, los comerciantes almacenaban arroz. Para solucionarlo inventaron un nuevo tipo de contrato para nivelar las grandes oscilaciones en el precio del arroz. Los firmantes garantizaban comprar (o vender) un cantidad específica de arroz en una fecha concreta futura por un precio dado. Los contratos eran una forma de juego de apuestas; pronto los propios contratos adquirieron un valor y podían comerciarse como si fuesen mercancías reales. Aunque la cantidad de arroz estaba limitada por lo que los granjeros podían plantar, no había límite para el número de contratos de arroz que podían expedirse. El mercado de valores encontró una oportunidad de vender humo y ganar dinero en metálico. Se han comerciado futuros desde entonces.

A partir del año 2000, el sector financiero inventó variantes cada vez más elaboradas de los futuros, «derivados» complejos basados en hipotéticos movimientos futuros de algún recurso que podía ser, incluso en sí mismo, otro derivado. Los bancos ya no estaban comprando y vendiendo apuestas sobre el precio futuro de una mercancía como el arroz, estaban comprando y vendiendo apuestas sobre el precio futuro de una apuesta.

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Los modelos matemáticos actuales más sofisticados de los sistemas financieros tienen origen en el movimiento browniano de pequeñas partículas en un fluido donde se movían de modo irregular. Einstein y Smoluchowski desarrollaron modelos matemáticos de este proceso y los usaron para establecer la existencia de átomos. El modelo supone que las partículas reciben “patadas” en caminos aleatorias, cuyas distancias siguen una distribución de probabilidad normal (una campana de Gauss). Una versión continua de un fenómeno discreto, en los que los tamaños y el tiempo entre patadas sucesivas es arbitrariamente pequeño. A medida que el tiempo pasa, el rango de posiciones posibles se amplía, ya que la partícula tiene más opciones de explorar regiones más distantes en el espacio.

La evolución de esta distribución de probabilidad obedece a la ecuación del calor, que se llama ecuación de difusión. De modo que la probabilidad se extiende como el calor. El contenido matemático había sido obtenido en 1900, por Bachelier en su tesis de doctoral, cuyo director era Henri Poincaré. Implicaba que las fluctuaciones grandes son muy improbables, porque las colas de la distribución normal (campana de Gauss) disminuyen exponencialmente en el cuadrado de x, y sigma (σ) es la desviación estándar, una medida de cómo de ancha es la campana de Gauss. Las matemáticas de la campana de Gauss asignan probabilidades (pequeñas) a estos «sucesos extremos». En el modelo de movimiento browniano las fluctuaciones grandes del mercado de valores son tan raras que en la práctica nunca deberían darse.

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Sin embargo, los datos del mercado de valores muestran que son mucho más comunes que eso. Las acciones en Cisco Systems, un líder mundial en comunicaciones, han experimentado diez sucesos 5-σ en los últimos veinte años, mientras que el movimiento browniano predice 0,003 para ellas. En el lunes negro (19 de octubre de 1987) el mercado de valores mundial perdió más de un 20% de su valor en pocas horas, un suceso tan extremo debería haber sido prácticamente imposible. La distribución con una cola pesada, indica niveles de riesgo mayor y hace que una apuesta sea mucho más pobre.

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Los análisis iniciales de los mercados en términos matemáticos fomentaron la falaz idea de que se podía hacer un modelo matemático del mercado, creando un modo racional y seguro de hacer cantidades de dinero ilimitadas. En 1973, parecía que el sueño podría hacerse real, cuando Fischer Black y Myron Scholes introdujeron un método para poner precio a las opciones: la ecuación de Black-Scholes. Robert Merton proporcionó un análisis matemático de su modelo el mismo año y lo amplió. La ecuación:

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Tiene cinco variables: el precio V del derivado, que depende de el precio S de la mercancía, del tiempo t, la tasa de interés libre de riesgo r (el interés teórico de una inversión con riesgo cero, como los bonos del Estado) y la volatilidad σde las acciones. Es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden como las ecuaciones de onda y del calor. Si los términos que representan el precio de los derivados y su tasa de variación se omitiesen, la ecuación sería exactamente la ecuación del calor, describiendo cómo el precio de la opción se extiende por el espacio de precios de las acciones. 

La teoría del arbitraje asume que los precios de mercado se comportan estadísticamente como el movimiento browniano, el ritmo de la deriva (el movimiento de la media) y la volatilidad (la desviación estándar) del mercado son constantes, suposiciones financieras simplificadas que se han convertido en un estándar del sector. Suposiciones ficticias como que no hay costes de transacción, ni límites en las ventas al descubierto, y que es posible prestar y tomar prestado dinero a una tasa de interés conocida, fija y libre de riesgo. 

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La ecuación de Black-Scholes tiene soluciones explícitas: una fórmula para las opciones de venta, otra para las opciones de compra, las fórmulas hacen sencillo calcular el precio recomendado (sin improvisar cuando trabajas con billones), además de proporcionar una comprensión teórica importante. Fue concebida para llevar a los mercados futuros cierta racionalidad de forma efectiva para condiciones de mercado “normales” (esto es importante).  Cubre las espaldas, cuando un operario pierde dinero, de la acusación de que obtuviste un precio equivocado y tu trabajo podría estar en riesgo. Porque, si tu jefe usa la misma fórmula, obtendrá el mismo resultado que tú, siempre que no cometas errores de cálculo, porque usaríais el mismo programa informático.

Black-Scholes/Merton ganaron el Nobel en Economía en 1997. La efectividad de la ecuación depende del propio comportamiento del mercado. Si las suposiciones tras el modelo dejan de cumplirse, no era inteligente seguir usándola. Pero a medida que el tiempo pasaba y la confianza crecía, muchos banqueros y comerciantes se olvidaron de eso, y también se cubrían las espaldas si una operación era un desastre, “no me culpe, jefe, usé la fórmula estándar del sector”. La banca convencional podía usar las ecuaciones para justificar préstamos y transacciones, siempre manteniendo los ojos abiertos ante problemas potenciales. Pero los negocios menos convencionales les seguirían pronto, y estos tenían la fe de un verdadero converso. Para ellos, la posibilidad de que el modelo fuese mal era inconcebible. Pasó a conocerse como la fórmula de Midas, una receta para convertir todo en oro. Pero el sector financiero se olvidó de cómo acaba la historia del rey Midas.

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La compañía llamada Long Term Capital Management (LTCM), un fondo de inversión privado se especializó en estrategias comerciales basadas en modelos matemáticos. La ecuación de Black-Scholes y sus extensiones, junto con técnicas de arbitraje, tuvo un éxito espectacular, generando ganancias del 40% por año hasta 1998, en ese momento perdió 4.600 millones de dólares en menos de cuatro meses. El Banco de la Reserva Federal convenció a sus mayores acreedores para financiarlo con alrededor de 3.600 millones de dólares. Los bancos involucrados recuperaron su dinero, pero LTCM fue cerrada en el 2000. La causa aproximada del fracaso de LTCM fue la crisis económica rusa de 1998. Los mercados occidentales habían invertido mucho en Rusia, cuya economía era tremendamente dependiente de las exportaciones de petróleo. La crisis económica asiática de 1997 provocó que el precio del petróleo cayese repentinamente, y víctima principal fue la economía rusa. El Banco Mundial dio un préstamo de 22.600 millones de dólares para apoyar a Rusia. LTCM dejó de obedecer las suposiciones del modelo, y estaba en un serio apuro. La crisis económica rusa fastidió todo y derribó casi todas las suposiciones, como la suposición de que las fluctuaciones extremas ocurren difícilmente: ninguna cola pesada.

La crisis sembró los mercados de confusión, y, en el pánico, los precios cayeron enormemente, muchos sigmas, en segundos. Los factores afectados estaban interrelacionados, y estos sucesos desencadenaron otros cambios rápidos, tan rápidos que era imposible que los inversores pudiesen saber el estado del mercado en un instante, en un estado de pánico general. Si el modelo browniano es correcto, los sucesos tan extremos como la crisis financiera rusa no deberían suceder con más frecuencia que una vez en un siglo. Se pueden recordar siete en los últimos 40 años: exceso de inversión en el mercado inmobiliario, la ex Unión Soviética, Brasil, mercado inmobiliario (de nuevo), mercado inmobiliario (de nuevo otra vez), empresas punto com y… ah, sí, mercado inmobiliario. El colapso de LTCM fue una advertencia. No se tomó debida nota de los peligros de comerciar usando una fórmula en un mundo que no obedecía las suposiciones tras la fórmula y rápidamente se ignoraron.

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En el Congreso Internacional de Matemáticos de 2002 (la mayor convención matemática mundial), Mary Poovey en su conferencia titulada «Can number ensure honesty?»  (¿Pueden los números garantizar la honestidad?), y describía la reciente aparición de un «nuevo eje de poder» en las relaciones mundiales de las grandes corporaciones multinacionales, muchas de las cuales evitan los impuestos nacionales constituyéndose en paraísos fiscales como Hong Kong. Actores y medios financieros como los Bancos de inversión, el FMI, fondos del Estado y fondos de pensiones corporativos, a través del bolsillo de los inversores ordinarios, en el día a día de los índices bursátiles como el Dow Jones y el FTSE 100 de Londres. De este nuevo eje de poder lo que importa es cómo ejerce su poder, la globalización ayudó al crecimiento del nivel de vida y al abandono mundial de las sociedades de bienestar, remplazándolas por una cultura de accionistas.

La mayor bancarrota en la historia de los Estados Unidos, la de Enron en 2001, y de nuevo, pocos hicieron caso de la advertencia. El contraste entre el sistema financiero tradicional, basado en la producción de bienes reales, y el emergente, basado en la inversión, el mercado de divisas y «apuestas complejas sobre si los precios futuros subirán o bajarán». En 1995 la economía del dinero virtual había superado la economía real de la fabricación. El eje de poder confundía conscientemente dinero real y virtual; cifras arbitrarias en las cuentas de compañías con dinero y artículos reales. Las compañías creaban sociedades como “empresas” subsidiarias”, y éstas compraban una participación en los beneficios futuros de la empresa matriz. La empresa matriz registra el dinero involucrado, como ingresos inmediatos, mientras que el riesgo se contabiliza en el balance general de la subsidiaria. Enron usó esta técnica, pasando de vender energía a vender futuros de energía. El gran problema de adelantar potenciales beneficios futuros, es que no pueden ponerse como beneficios el año siguiente, y hay que repetir la maniobra cada año, creando una burbuja.

Las sumas astronómicas de dinero de los derivados y futuros basadas en la creencia de que el mercado de valores se comporta de una manera estadísticamente predecible, con ecuaciones matemáticas que describen exactamente el mercado, pero las pruebas señalan en una dirección totalmente diferente: entre un 75% y un 90% de todos los inversores de futuros pierden dinero en un año cualquiera.

Dos tipos principales de derivados estuvieron implicados en la creación de los mercados financieros tóxicos a comienzos del siglo XXI:

  • Las permutas de incumplimiento crediticio: es una forma de seguro donde pagas tu prima, y cobras de una compañía aseguradora si alguien no paga una deuda. Pero esto podía hacerse sobre cualquier cosa. Un fondo de inversión podía, a todos los efectos, apostar que los clientes de un banco no iban a pagar sus hipotecas, y si sucedía, el fondo de inversión ganaría un dineral, incluso aunque no fuese una parte en el contrato de la hipoteca. Esto proporcionaba un incentivo para que los especuladores influyesen en las condiciones de mercado e hiciesen los impagos más probables
  • Las obligaciones de deuda colateralizadas: basadas en una colección (cartera) de activos. Estos pueden ser tangibles, como hipotecas de propiedad real, ser derivados, o pueden ser una mezcla de ambos. El propietario de los activos vende a los inversores el derecho a una participación de los beneficios de esas carteras de activos. El inversor puede jugar sobre seguro y llevarse la primera llamada de los beneficios, pero esto les cuesta más. O pueden asumir más riesgo, pagar menos, y estar más abajo en el orden de picotear para un pago.

Los bancos, los fondos de inversión y otros especuladores comerciaban con ambos tipos de derivados. Se les puso precio usando descendientes de la ecuación de Black-Scholes, de modo que estaban considerados como activos por derecho propio. Los bancos tomaron prestado dinero de otros bancos, de modo que podían prestárselo a la gente que quería hipotecas, aseguraron estos préstamos con propiedades reales y derivados elaborados. Pronto todo el mundo estaba prestando enormes sumas de dinero a todo el mundo, mucho de ello asegurado sobre derivados financieros. Mientras, los fondos de inversión y otros especuladores estaban intentando hacer dinero encontrando desastres potenciales y apostando a que les sucederían.

Los agentes de bolsa tienden a copiar a otros agentes de bolsa, siguen a la manada y si todo el mundo se equivoca, tienen una buena excusa: es lo que todo el mundo estaba haciendo. Black-Scholes era perfecta para el instinto gregario. Después de la crisis inmobiliaria, ha habido una estampida hacia los fondos negociables de mercado ETFs (Exchange Traded Funds), como derivados. Basta cambiar la palabra «propiedad» por «mercancías», que ha llevado los precios de las mercancías hasta el tope, inflándolos desproporcionadamente con la demanda real. De nuevo, se está animando a los inversores a hacer apuestas especulativas, cada vez más complejas y cada vez más arriesgadas. Ahora mucha gente en el tercer mundo no es capaz de ahorrar para alimentación básica, porque los especuladores de los países desarrollados están haciendo grandes apuestas sobre el trigo. La destitución de Hosni Mubarak en Egipto fue, hasta cierto punto, impulsada por los enormes incrementos en el precio del pan.

La respuesta de los reguladores de los gobiernos a un sistema financiero inestable debería ser tomar acciones para estabilizarlo, están intentando hacerlo, después del pánico inicial tras el cual dieron enormes cantidades de dinero de los contribuyentes a los bancos. Pero omitieron imponer condiciones más allá de promesas vagas, que no se han mantenido. Las nuevas regulaciones fracasan al ignorar el problema real, que es el diseño pobre del propio sistema financiero y su facilidad para transferir billones con un clic, permitiendo beneficios cada vez más rápidos, pero también impactos más rápidos. El no aplicar impuestos a las transacciones financieras permite explotar esta velocidad, y cada vez apuestas mayores y a una velocidad mayor. El principal objetivo del sector financiero en este momento es hacer cada vez más dinero y cada vez más rápido. El precio que se paga por ganar dinero muy rápido y en grandes cantidades, es la inestabilidad masiva. Obtener una respuesta rápida implica usar un sistema inestable, mientras la estabilidad implica una resistencia al cambio. Por lo que la búsqueda de beneficios cada vez mayores ha provocado que se desarrolle un sistema financiero cada vez más inestable.

La estabilidad podría mejorar requeriendo recetas como, que los bancos tengan más capital, que amortigüe contra los impactos, o que los reguladores deberían centrarse no en los riesgos de los bancos individuales, sino en los asociados con el sistema financiero completo. La complejidad del mercado y la propagación de impactos de los derivados se reduciría haciendo que todas las transacciones pasen por una cámara de compensación central, apoyada por todas las naciones importantes. Una sugerencia para evitar que cuando se equivocan, todos se equivoquen a la vez, es diversificar los métodos de comerciar y valorar los riesgos, porque todos usan los mismos métodos y surge el mismo problema. Otra forma es organizárse en módulos más o menos autónomos, conectados unos a otros de una manera simple, que ayude a prevenir la propagación de impactos (lo que diríamos “no poner todos los huevos en el mismo cesto”), por ejemplo rompiendo los grandes bancos y remplazarlos por una cantidad de bancos más pequeños. La tendencia es justo la contraria, con mayor concentración bancaria.

Las sociedades occidentales todavía no se han recuperado de la brutal crisis especulativa después de una década, hemos visto que los modelos matemáticos que se aplicaron torticeramente, al servicio de la avaricia y la especulación. Durante este tiempo las sociedades occidentales han padecido, no sólo económicamente, sino también psicológicamente, sus efectos. La crisis no sólo ha afectado a los bolsillos, también a las mentes. Nuestras sociedades han sido pasto de populismos y de extremismos de todo tipo, en cuyo fondo subyace el descontento de una clase media que ha visto frustradas todas sus espectativas, muchas de ellas lo han perdido todo, incluso se han visto sumidas en la desesperación y la pobreza, en tanto se multiplicaba el número de millonarios. Todo ello acompañado de un retroceso de las condiciones de vida y cobertura social, que amenaza el estado del bienestar, que puede irse por el sumidero. En definitiva una rotura de los grandes acuerdos posteriores a la II Guerra Mundial, que garantizaban paz social a cambio de desarrollo y bienestar en Europa.

REFERENCIAS.
Ian Stewart .- 17 ecuaciones que cambiaron el mundo – , Ed. Crítica (2013)
La ecuación matemática que causó el derrumbe del sector financiero
Black-Scholes: ángel o demonio
La ecuación matemática que causó el derrumbe del sector financiero
Black-Scholes
Ecuación Black-Scholes 
Black-Scholes formula
Ecuación diferencial Black-Scholes
Black Sholes

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