La teoría del caos: el atractor extraño.

Mientras las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y las reglas de la mecánica clásica permitan calcular con precisión su trayectoria futura, estaremos en un escenario determinista. Pero ¿cuándo un sistema que está sometido a leyes perfectamente determinadas se comporta de manera errática o aparentemente aleatoria? Lo más importante de estos sistemas es la enorme sensibilidad a las condiciones iniciales, dos estados inicialmente muy próximos pueden dar resultados futuros completamente distintos. Además de esta propiedad los sistemas caóticos deterministas tienen otras propiedades muy características como son la recurrencia, la autosimilaridad y la fractalidad. Sistemas caóticos como el sistema solar y la atmósfera los son en distintas escalas de tiempo.

Para que un sistema sea caótico no es necesario que dependa de muchas variables. Cuando se representa gráficamente un sistema caótico aparece un gráfico muy característico: el atractor extraño. La biología, la química o la economía utilizan esta herramienta matemática para estudiar sus sistemas. Al contrario de la palabra griega cosmos  que significa orden, la palabra caos significa confusión o desorden, mientras el caos determinista es equidistante entre el caos y el determinismo, es un comportamiento irregular  que sigue reglas definidas.

Los objetos fractales son una característica de ligada a sistemas caóticos, donde destacan la autosimiliaridad y su dimensión. La autosimilaridad significa que cuando ponemos la lupa en cualquier fragmento, éste es idéntico al original, por eso son objetos de aspecto quebrado. Su dimensión no es un número entero, como la curvas, superficies o volúmenes. Por ejemplo la dimensión del triángulo de Sierpinski es 1,5849 porque, aunque tiene longitud infinita, su área es cero. Y tiene una peculiaridad como es que en el proceso de su construcción se pierde toda la información de la imagen original.

La palabra fractal fue inventada por Benoit Mandelbrot (Varsovia 1924) en el año 1975, observó que las costas o las fronteras son líneas que no tienen una longitud definida, ya que al observarlas con más detalle aparecen nuevas curvas que no se aprecian a mayor escala. Y las curvas continuas y diferenciables no siempre son las más apropiadas para describir muchos fenómenos naturales. En aquella época las matemáticas de debatían entre la concepción de Hilbert que abogaba por construir todo el edificio de las matemáticas sobre una base de postulados lógicos, sin más; y la de Poincare que abogaba por la lógica y la intuición, donde la lógica debe dar certeza como instrumento de demostración, mientras la intuición es el instrumento de invención.

Mandelbrot introdujo conceptos como el conjunto fractal, dimensión fractal y autosimilaridad. Un ejemplo muy gráfico es averiguar la longitud real de la costa de un país en un momento dado, donde al medirla sobre un mapa da una longitud finita, mientras a medida de vamos aumentando los detalles (golfos, cabos, rocas, ….) cada vez la longitud aumenta tomando más puntos de medición y concluimos que su longitud real es infinita. Y eso se debe a que realmente es un fractal y su dimensión es aproximadamente 1,5, porque no es una linea y tampoco una superficie.

Lorenz ideó una atmósfera de juguete con la intención de buscar ecuaciones (recordar que una ecuación diferencial puede expresar como evoluciona un fenómeno en el tiempo) que le permitieran averiguar su evolución, con la esperanza de poder buscar unas leyes que permitieran hacer previsiones meteorológicas en la realidad. Ni que decir tiene que los grandes avances científicos y de las matemáticas han respondido a la necesidad de resolver problemas y retos como éste. Sin embargo Lorenz descubrió que la atmósfera es un sistema disipativo porque la viscosidad de la atmósfera frena el movimiento, disipando la energía (cinética) del viento y convirtiéndola en calor. Y el calor se dispersa con la conducción, la convección y la radiación. Por lo tanto la atmósfera es un sistema caótico que es muy sensible a las condiciones iniciales; es decir, pequeñas diferencias iniciales daban lugar al cabo del tiempo a situación muy diferentes.

Lo mismo que un columpio que impulsamos una sola vez, tiende con el tiempo a la situación inicial de equilibrio; un sistema que no esté alimentado por una fuente externa tiende al equilibrio, que es el punto más bajo. Este punto es el atractor porque independientemente del impulso que demos todas las trayectorias del espacio de fases acaban en ese punto de equilibrio o atractor. Sin embargo, lo mismo que sucede con un columpio que se impulsa regularmente con una frecuencia adecuada, oscila cada vez más hasta un estado estacionario sin variar su altura. Es decir, se le da un impulso cada vez que compensa la pérdida de energía. En este otro caso el ciclo límite es un atractor como movimiento sostenido en el espacio de fases. En este caso es un sistema disipativo con aporte de energía exterior. Es decir, un sistema disipativo con forzamiento externo.

Lorenz esperaba que su atmósfera virtual tendiera a un conjunto restringido de estados, pero no es así, sus variables no tienden ni a valores estacionarios ni a oscilaciones regulares; por lo tanto el atractor no es ni un punto ni un ciclo límite. En un modelo reducido de doce variables hasta tres variables (tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas) de un líquido en una caja (velocidad máxima, diferencia de temperatura entre las columnas ascendente-descendente y gradiente temperatura vertical) observó que la no linealidad es fundamental es imprescindible para el caos determinista. Cuando la diferencia de temperatura es baja el líquido no se mueve y el equilibrio es estable, es decir regresa el sistema regresa a él introducir perturbaciones. Al aumentar la temperatura el líquido sube por un lado y baja por otro, y si la temperatura no es muy alta es una situación también estable, con dos opciones de giro posibles.

Pero en su modelo al aumentar suficientemente la diferencia de temperatura se producen las condiciones de variabilidad de su modelo atmosférico, pero el sistema «recuerda» los dos posibles estados estacionarios y da vueltas entorno a los dos sin llegar a estabilizarse en ninguno de ellos. El atractor de Lorenz tiene forma de alas de mariposa (te suena) y cualquier trayectoria tiende a ellas, aunque inicialmente esté lejos y dos trayectorias inicialmente muy juntas pueden terminar girando cada una en centros distintos del atractor. El sistema no termina ni en un punto de equilibrio, ni en un ciclo límite, pero llega a una situación donde se mueve en torno a una zona limitada del espacio; es decir un atractor extraño. Se llama «atractor extraño» porque todas las trayectorias en sus cercanías caen en él (atractor) y porque no tiene una forma geométrica convencional (extraño).

El atractor extraño en sí es un estado estable del sistema, porque las trayectorias tienden a él y una vez que llegan se quedan allí, y un estado inicial cualquiera no tiene que pertenecer a él, pero cada vez se acercará más a él y terminará en él. La atmósfera es ya un atractor, y si una catástrofe o perturbación global la alterara originaría un periodo de transición más o menos largo, pero el sistema volvería a caer en su dinámica habitual. El error que tuvieron los primeros meteorólogos cuando intentaron medir la evolución la atmósfera fue justamente ignorar lo anterior, es decir, dar valores iniciales no reales que no están dentro del atractor.

En un sistema dinámico continuo en el que el tiempo fluye continuamente, puede tomar cualquier valor. El número mínimo de variables para que sea caótico es de tres, y también para que exista un atractor extraño el número mínimo de variables debe ser tres. En el caso de sistemas dinámicos discretos ese número de variables para crear una atractor extraño puede ser dos. La dificultad para resolver ecuaciones diferenciales, puesto que no existen métodos generales para resolver cualquiera, salvo casos concretos; llevó a Poincare  del análisis matemático a la geometría y de ahí a la topología (se considera uno de sus creadores).

La herradura de Smale es un ejemplo de sistema dinámico caótico, que consiste partiendo de dos bandas en un rectángulo, estirarlas sucesivamente y hacer las converger doblándola en forma de herradura con ese mismo rectángulo y desechando lo sobrante. Se produce una sucesión de bandas cada vez más estrechas que son el doble de las anteriores y menos de la mitad de anchas (así indefinidamente). Así se obtiene una estructura fractal, las bandas no llenan todo el rectángulo por lo que no tienen dimensión dos, pero tampoco dimensión uno porque son más que una línea. Supongamos que echásemos dos granos de azúcar en cualquiera de las dos bandas iniciales, pues después de muchos pasos pueden terminar en extremos opuestos, incluso estando inicialmente muy juntas. Tenemos en este ejemplo dos síntomas de caos: fractalidad y sensibilidad a las condiciones iniciales. El atractor de Henon es otro ejemplo, y es la herradura codificada con coordenadas (x,y) a partir de las cuales se producen una serie de puntos sucesivos en el plano. Este fractal tiene una dimensión 1,26.

Siendo la meteorología y el movimiento de los astros procesos caóticos, sin embargo podemos predecir un eclipse con siglos de antelación y no podemos predecir el tiempo a semanas vista. Esto se debe a que aún siendo ambos procesos caóticos los tiempos no son los mismos. Por eso el exponente de Liapunov λ cuantifica el grado de caos en función de las condiciones iniciales; es decir, un proceso será más caótico en la medida que sea más sensible a las condiciones iniciales, midiendo la variación de distancias δ entre dos trayectorias que están inicialmente muy próximas. El exponente de Liapunov λ es un factor de crecimiento o decrecimiento de la distancia con el tiempo y su inverso 1/λ representa un tiempo en el cual las divergencias o convergencias son más notables. Si λ  es negativo se acercan, si λ es positivo se alejan síntoma de caos determinista sensible a las condiciones iniciales. Para el sistema solar 1/λ  es un valor del orden de varios millones de años, y para la atmósfera es del orden de semanas, por eso dijo Lorenz «el aleteo de una mariposa en Brasil ¿originó un tornado en Texas?» en una conferencia en Whashington en 1976 y se llamó efecto mariposa, aún siendo exagerado, pero haciendo referencia a la sensibilidad de las condiciones iniciales en los procesos caóticos.

Otra forma de medir el caos de un sistema es la información, los atractores extraños tienen mucho que ver, porque por un lado destruyen la información y por otro dan información del sistema. A medida que el sistema evoluciona vamos perdiendo información de las condiciones iniciales, porque una señal caótica es impredecible a largo plazo. Por otro lado el atractor extraño que aparece en ese proceso de pérdida de información, nos da información debido a que todas las trayectorias dentro del atractor lo recorren una y otra vez, visitando regiones cercanas aunque siempre diferentes, revelando la estructura del atractor. Los atractores extraños son objetos fractales, con una dimensión D, como objeto homogéneo, con todas sus partes equivalentes, es resultado de un proceso dinámico y cada parte del atractor tiene el mismo aspecto que el resto sus regiones.

REFERENCIAS

https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos

https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_mariposa

https://es.wikipedia.org/wiki/Atractor

http://www.chaos-math.org/es/caos-vii-atractores-extranos

La teoría del caos, Alberto Pérez Izquierdo, RBA, 2016.