Evolución de la población humana, equilibrio o extinción, aplicación logística, diagrama de Feigenbaum.

En los últimos 65 años la población mundial ha pasado de 2.500 millones a 7.370 millones de habitantes. Esto significa que cada 5 años la población terrestre humana se ha incrementado un 9%. Inmediatamente nos surgen  preguntas: ¿cúal es la capacidad de soporte vital de este pedruzco que llamamos Tierra? ¿somos una plaga que exterminará el planeta o encontraremos el equilibrio?.

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La fórmula de evolución media de la población sería: Xn+1=α Xn , donde α=1,09, es decir cada cinco años la población crece siguiendo una progresión geométrica. Es el crecimiento de la población que predijo Malthus el que aseguraba que, en ausencia de obstáculos como guerras, hambrunas, plagas, catástrofes,.., la población crecería siguiendo una progresión geométrica, mientras los recursos que la sustentan lo hacían siguiendo una progresión aritmética. Por tanto, como la progresión geométrica (que multiplica) crece más rápido que la aritmética (que lo hace sumando), era cuestión de tiempo para que tuviésemos problemas, si no se controlaba el crecimiento de la población. No olvidemos que parte de ese crecimiento se sustenta en la mejora de la tecnología de producción de alimentos, bienes o servicios; pero queda una parte no despreciable de depredación de los recursos naturales, contaminación y extinción de otras especies.

poblacion mundial

Aunque Malthus predecía que la población mundial se doblaría cada 25 años en ausencia de obstáculos, eso no es exacto, eso está ocurriendo en la actualidad cada 40 años. Se cumple la ley de Malthus, pero el coeficiente α es menor que el que él predijo. Su ley sigue un sistema dinámico discreto, cuyo estado va cambiando con el tiempo, como así lo son los cuerpos celestes, el cuerpo humano, ecosistemas, la cotización de acciones en bolsa,… Los sistemas dinámicos evolucionan siguiendo una ley que nos dice como va cambiando con el tiempo, y se dice discreto (lo contrario de contínuo) porque conocemos sus valores en intervalos fijos en el tiempo, con una ecuación general del tipo: Xn+1=f( Xn), n=1,2,3,….

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Sin embargo esa función f( Xn) no es lineal y aburrida, porque para que existan procesos caóticos como éste, de esta ley natural, la función debe ser no lineal. Según Robert May el coeficiente α depende de la población X, de manera que a mayor población X, menor será la tasa de crecimiento α; siguiendo la siguiente ley :  α = r (1- X/ Xm), donde r es la tasa de crecimiento máxima y Xm es el número máximo de individuos que el entorno puede admitir. De manera que si, por ejemplo el valor de X=0,5 Xm para α = r/2,  la tasa de crecimiento sería la mitad de la máxima posible. Si   α = 0 , la población se extinguiría en el siguiente periodo y eso sucedería cuando X= Xm fuese el número máximo admisible, que haría que el sistema se derrumbara.

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Para hacer la fórmula más manejable definimos Xn=X/Xm que tendría un valor porcentual entre 0 y 1, de tal manera que sustituyendo α en la fórmula de May quedaría como Xn+1=r (1 – Xn ) Xn, donde podemos ver las distintas iteracciones de generaciones a partir de la anterior. Este modelo no sólo es válidado para poblaciones humanas, sino para cualquier especie en su ecosistema. La fórmula general de la función sería f(x)= r (1 – x) x, de forma que cuando x=1 la población alcanza el máximo posible y llega su extinción f(1)=0; esta aplicación no lineal f(x) se conoce con el nombre de aplicación logística.

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El valor de la tasa de crecimiento r determina el futuro. Por ejemplo para valores de r menores que 1, en cada ciclo la especie disminuye y al cabo de cierto tiempo se extingue, por ejemplo para r=0,5 en diez ciclos la población desaparece, termina en x=0. Para r mayor que 1 la población crece, y para valores de r entre 1 y 3 la población se estabiliza para un valor de x=0,33 (es decir un 33% de la capacidad máxima) independientemente del valor x del que se parta. Pero si aumentamos r aparecen valores muy variados, por ejemplo para r=3,2 la población acaba oscilando entre dos valores definidos a partir de varios periodos. Si sigue aumentando a partir de r=3,449 se llega a una población que oscila entre cuatro opciones diferentes que se repiten sucesivamente. A partir de r=3,57 la dinámica se vuelve caótica, como si fuese aleatoria.

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Para cada valor de r se puede representar un diagrama de los valores de Xn, donde visualizar gráficamente la evolución de la población cada ciclo, este diagrama se llama diagrama de Feigenbaum. Los valores de este diagrama se diferencian en su comportamiento en r=1, r=3, r=3,449,…. en ellos se producen distintos puntos de bifurcación como hemos visto, a partir de r>3 dos bifurcaciones, en r=3,449 cuatro bifurcaciones, y a medida que sigue aumentando se producen 8, 16,… bifurcaciones cada vez más pronto; llegando a r=3,57 el número de bifurcaciones tiende a infinito y se vuelve caótico el comportamiento. Este comportamiento se conoce como transición al caos por desdoblamiento de periodo o cascada subarmónica.

44De lo visto anteriormente podemos deducir que los comportamientos complejos no necesariamente tienen que deberse a una multitud de causas. Para r=4 la población varía en iteraciones desde valores desde el 0 hasta el 1; esto nos dice cosas muy interesantes, como que no hacen falta catástrofes, guerras, epidemias,.. para que en algún momento la población alcance el valor x=0, es decir: la propia dinámica interna puede llevar a la extinción.

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Como vemos el diagrama de Feigenbaum al aumentar la r presenta una de las características de los sistemas caóticos deterministas como es la autosimilaridad. Sabemos que los sistemas caóticos deterministas son muy sensibles a las condiciones iniciales porque ello da mucha variabilidad, la irregularidad en su comportamiento y la no linealidad de las ecuaciones que los modelan. En el diagrama de Feigenbaum a partir de cada bifurcación podemos ver que es similar al diagrama completo, pero a menor escala.

REFERENCIAS
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos
http://www.um.es/acc/podemos-decidir/
http://www.cienciakanija.com/2007/04/02/teoria-del-caos-una-breve-introduccion/
https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_log%C3%ADstica
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/logistica.htm
http://www.librosmaravillosos.com/17ecuacionesquecambiaronelmundo/capitulo16.html

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